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数学教学中最美丽的错误,就是赶进度

作者:蓝色winds  来源:知乎  发布/更新时间:2020-10-30 10:50:25

小王和老李在同一个年级教数学,小王刚毕业两年,老李是学校的骨干教师。

小王上课风风火火,把知识点一列,例题一讲,接着就是让学生不断地练习,一节课下来,学生做完七八道题是常有的事,而且质量看起来还不错。他感觉老李上课慢吞吞的,一个知识点能让学生玩上大半节课,剩下的时间学生能做一道题就不错了。练习量不够怎么办?下一节课再搭半节课的时间,有时干脆全搭。

小王认为,就老李这样的速度,一学期能把新课上完就不错了,再看自己,学生也学得不错,进度还遥遥领先,估计到了期末复习,老李就得忙死,而自己还可以喝喝茶。

头几回测验,成绩一比,两人的各项指标都不相上下,小王的及格率还略胜一筹,这让小王得意万分,觉得老李也不过如此嘛!

可是,第一阶段考试过后,小王发现情况不对劲。自己班的成绩指标一步步地往下掉,而老李班的成绩指标像是被钉住似的,偶尔会松动一下,但就是掉不下来。

小王翻阅两个班的学生试卷,找到了原因:如果试题考查刚学不久的知识点,两个班的学生正确率差不多;可是如果试题考查学了有一段时间的知识点,老李班的正确率还是稳稳的,而小王班学生普遍错得一塌糊涂,好像没学过一样。

小王很纳闷:“学生当初不是学得挺好的嘛,怎么会这样?”他不甘心,想把成绩扳回来。很快到了期末,有很多复习学案。小王把学案发下去,让学生提前做好,自己在课上评讲,这样复习进度就能快速推进。很快,小王觉得复习学案不够用了,再看老李,一张学案居然能让学生做三四节课!

“这复习速度慢的,学案能用的完吗?”小王感觉自己期末稳操胜券,得意地笑了。不料,期末考试成绩出来,老李班的成绩指标全面横扫小王班,平均分还足足高了10分!看着成绩,小王觉得好奔溃。

小王最大的问题,在于盲目地赶进度。这是许多老师都很容易犯的错误,尤其是学生基础不好,却又有点希望的时候。盲目赶进度的老师,通常会压缩学生消化知识的时间,或者干脆让学生用课外时间来做这件事情,导致学过的知识难以及时得到复习。

这样的结果,就是学生有时间和知识接触,却没时间把知识留住。因为在学习的同时,对知识的遗忘也拉开了序幕。一个知识点如果不及时回顾,一个礼拜后可能就忘掉七七八八了,更不用说等到期末复习了。

老师能赶的,其实只是自己的教学进度,而决定学生成绩的,是学生的学习进度,这是赶不了的。如果忽略了学生的记忆规律,把教学进度等同于学生的学习进度,学生只能是学得越快,忘得也越快。老师在教学中投入的辛苦,到头来还是白费功夫。

要想帮助学生把学过的知识有效地巩固,老师不妨从遗忘的规律入手,寻找解决问题的出路。

1.遗忘有什么规律?

在心理学上,遗忘是指对识记过的材料不能再认与回忆,或者错误的再认与回忆,简单说,就是以前学过的东西,现在要么想不起来,要么记错了。比如有的学生见到“求半径为5的半圆的面积”,问我圆的面积公式是什么,这是遗忘;有的学生见到“求50°的余角”,很开心地写上130°,这是把知识点记错了,同样也是遗忘。

我们为什么会遗忘呢?亚里士多德和桑代克的“记忆痕迹衰退说”认为,遗忘是记忆痕迹得不到强化而逐渐减弱,随着时间的推移而逐渐消退的结果。简单说,记忆就像我们在海浪冲刷的海滩踩下的脚印,如果不再理会,脚印很快就会被冲淡消失;如果你希望脚印能够保留下来,就要经常回来踩一踩,把脚印加深一点。

德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus),在这个理论的基础上,通过严格的实验研究,绘制出一条遗忘进程的函数曲线,用来反映记忆保持情况与时间的关系,这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线。

图中的数轴表示记忆保持量,用百分比显示;横州表示记忆时间,用天数表示。从左往右看,遗忘曲线刚开始比较陡,然后越往右越平缓,这揭示了遗忘的一般规律:随着时间的流逝,遗忘的速度会先快后慢。

就拿上图来说,刚学完时,记忆保持量是100%,第一天下来,只剩下33.7%,足足遗忘了近七成(100%减去33.7%)的记忆!随后,到了第六天,保持量还有25.4%,五天的时间遗忘的记忆不到三成(33.7%减去25.4%再除以33.7%),遗忘速度明显慢下来了。

有的人被上图的数据吓坏了:“难道我辛辛苦苦背的一篇课文,睡一觉就只记得标题啦?”其实没必要紧张,遗忘曲线最大的价值,在于反映了遗忘速度的变化规律,而不是遗忘速度本身。上图的数据之所以看起来“惨烈”,是因为艾宾浩斯用无意义音节组做的实验,而且在实验中尽可能地排除复杂环境,忽略人的个性特点。

什么是无意义音节?艾宾浩斯把德语中的字母分为两类:一类是元音字母,有点像我们汉语中的韵母;另一类是辅音字母,有点像我们汉语中的声母。把一个元音字母夹在两个辅音字母中间,形成一个组合,如果这个组合在德语辞典中找不到,就把它称为无意义音节,我们无法从中听出什么内涵或者意义,只能靠强记,比如zog, xot, gij, nov, 等等。

艾宾浩斯发现,不同材料的遗忘趋势大体上是一致的,但如果识记的内容有意义,我们的遗忘速度会比无意义材料的遗忘速度更缓慢,回忆起来也更容易。下图反映的,就是诗与散文这两种有意义材料,和无意义音节的遗忘曲线的对比,显然,诗和散文的遗忘曲线更平坦,这意味着它们的遗忘速度更慢。

遗忘曲线忽略了人的个性,它是一个对所有人记忆遗忘特点的笼统概括。每个人因为生理特点和生活经历不同,所以记忆方式和特点可能也会不一样,从而对记忆的遗忘速度也不尽相同。比如小孩子背一首诗就像过家家似的,老人家可能就比较费劲。下图反映的,是年轻人和老年人的遗忘曲线对比,可以看出,年轻人的遗忘曲线要更平坦些,意味着他们的遗忘速度更慢。

艾宾浩斯还发现,如果我们采取一定的措施及时复习,并能恰到好处地卡好时间段时,我们就能很好地减缓遗忘的速度,甚至是停止记忆的流失,就像下图的遗忘曲线。

这条遗忘曲线平坦得近乎水平线,意味着遗忘速度几乎为0。有人做过一个实验,两组学生学习一段课文, 甲组在学习后不复习,一天后记忆率36%,一周后只剩13%。乙组按艾宾浩斯记忆规律复习,一天后保持记忆率98%,一周后保持86%, 乙组的记忆率明显高于甲组。这足以看出及时复习的威力!

2.老师如何帮助学生克服遗忘?

遗忘是记忆的孪生兄弟,也是记忆的头号大敌。记忆力再强的人,也逃不过时间的作用。学生如果想要把辛辛苦苦学到的知识长期地保存在大脑里,最好的选择,不是企图消灭遗忘,而是降低遗忘的概率。为此,老师能做什么来帮助学生呢?

(1)理解数学知识

数学是一门逻辑严谨、自成体系的学科,如果学生能把数学知识点的整体框架把握好,即使某个知识点暂时忘记了,也可以通过知识点之间的联系,把它重新回忆起来。

比如特殊三角函数值,初中要记的一共有9个,有的学生不遗余力地背诵和默写,结果一到做题,写不出的错误不会犯,张冠李戴的错误犯不断。比如把30°的正切写成正弦,把45°的正弦写成60°的正切等等。其实只要花点时间,理解计算三角函数的原理,做题时如果不记得,就停下来,画一个特殊直角三角形进行推理,结果一下子就出来了,还能确保万无一失。起初可能慢点,但是随着推理越来越熟练,停顿的时间也会越来越短,对解题速度几乎没有影响。

老师应该帮助学生明白知识点的由来和发展,同时积极寻找知识点之间的联系,加深对知识点的理解,这样可以极大地降低遗忘的概率。所谓磨刀不误砍柴工,教学进度有必要推得那么快吗?没必要,我们应该关注的,应该是学生的理解速度,而不是我们的讲课速度。

学生怎样才算理解?理解有两个表现,一个是能用自己的话来复述知识,另一个是能用知识来解决问题。因此,老师不妨做两件事:

第一件事,就是鼓励学生多说。可以让部分学生上台展示,其他人补充质疑;可以让学生小组讨论,让思维在争辩中碰撞;可以抽查学生给自己讲解,看看是否真懂;还可以布置周末作业,让学生围绕知识点写故事,既锻炼了复述能力,又能提高写作水平,比单纯发一张周末试卷更有价值。

第二件事,就是鼓励学生多用。可以提供更多的练习,让学生有充足的练习机会;可以开展一题多解,推动学生进行多维度思考;还可以开展一题多变,让学生在适应问题的变化中,体会知识之间的联系。

(2)掌握复习间隔

艾宾浩斯在记忆保持曲线的基础上发明了一种复习方法,叫做351-351。具体做法是,当我们将需要学习的内容全部记住后,要尽量在3小时之内复习一遍,接下来,在5小时内、10小时内、3天内、5天内、10天内分别复习一遍,经过这6次的学习,长期记忆就会形成,我们对该内容的记忆力就会相当深刻,这里的关键,在于复习时用复述的方式来增强效果。

老师有三种方式推动学生复习:课后作业、课前小测和周测。学生学完一个知识点后,老师可以在当晚的作业中,设置相应的题目;在接下来的三天,每节课的课前小测,以及连续两周的周测,也安排一定量的题目,这样学生就相当于把知识点复习了6次,以此类推。

作业、小测和周测还有一个好处,就是提供反馈,帮助老师及时了解哪些学生学的不错,哪些学生有点遗忘了,这时老师就可以有针对性地采取补救措施。比如设立学习小组,利用每周学校安排的培辅时间进行帮扶工作。

(3)提高思维能力

很多时候,容易忘记是因为我们缺乏创造性的思维,就好像一个字母“O”,你能把它想象成几种东西呢?具有一定思维能力的人会把它想象成地球、圆圈、零、鸡蛋、窗户、头、面包圈、铁环、杯口、马车车轮、帽子等物件。这样的思维可以让我们为事物建立联系,从而令遗忘变缓。

老师可以从三个方面,帮助学生提高思维能力:

第一,善用图像思维

这里的图像思维,指的是视觉化思维,就是把思维用视觉的形式呈现出来。视觉神经科学领域的研究成果显示,人脑活动总量的近2/3都用于支持视觉功能。大约1/3的脑部神经元专门处理视觉信息,还有1/3的神经元同时处理视觉和其他感官信息,最后1/3的神经元处理剩下的各类信息,所以视觉记忆更加深刻。

有时候老师噼里啪啦讲一大堆,学生却听得云里雾里,这是因为这个老师没有启动学生的视觉,只打动了学生的三分之一。

如果知识点跟图形有关,老师不妨把图形放在黑板中央,一边加工一边讲解,这样学生会记得更牢。比如总结全等三角形常用的判定方法,可以把图形作为主角进行归纳,如下图。

如果知识点和图形无关,老师不妨用学生熟悉的物品或情境来打比方,让学生在头脑中产生画面,形成深刻的记忆。比如,一顿正常饮食的饱和脂肪酸不得超过20克,而一份中包爆米花却含37克,几乎是成人一天所需要的饱和脂肪酸的量,这如何帮助学生理解?美国的阿特·希尔费曼用一张图就解决了。

第二,善于运用比喻

很多时候,比喻可以把陌生的、难以理解的事物变成我们熟悉的东西,把枯燥的理论性问题形象化、具体化。老师在帮助学生记忆的过程中,应该尽量把所要记忆的内容比喻成某些熟悉的事物,这样能够加快记忆的速度。

比如学习菱形和矩形,有个同事用了一个很经典的比喻:菱形和矩形就像平行四边形生出来的两个儿子,因为是亲生的,所以它们都继承了平行四边形所有的性质,不仅如此,它们还发展了自己的个性,像菱形的四条边相等和对角线垂直,像矩形的四个角为直角和对角线相等。同事边说边板书,学生边笑边记住。

第三,善于建立联系

记忆一个独立的事物并不怎么容易,但如果老师能帮助学生将这个事物与其他事物建立一定的联系,学生就能够举一反三,记起一件事物,就能记起与之相关联的所有事物。这也是我们常说的联想。

目前为止,常用的联想规律有四种:

第一种是相似联想,就是由一个东西想到与之相似的另一个东西。比如由全等三角形的对应角相等,想到相似三角形的对应角也相等。

第二种是接近联想,就是由一个东西想到与之在时间和空间上接近的另一个东西。比如一条直线上有三个角,中间的角是直角,由此想到两边的角加起来等于90°。

第三种是对比联想,就是由一个东西想到与之性质或特点相反的另一个东西。比如收入不变的情况下,由利润的最大值,想到成本的最小值。

第四种是因果联想,就是由一个东西想到与之在逻辑上有因果关系的另一个东西。比如看到平行线,就想到可能会出现相等的同位角和内错角,或者是互补的同旁内角。

尽管记忆很重要,但我们必须明白,记忆并不是学生最终的目标,它只是围绕目标服务的一种方法和手段,记忆的真正目标是长期贮备足够的知识和利用这些知识解决问题。我们老师能做的,就是帮助学生提高记忆的效率,降低遗忘的概率。


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