高中数学新课程培训问答（18问）

　　问题1 观察图（10--正方形数与三角形数），写出正方形数与三角形数或长方形数之间的关系式。
　　历史上，早期毕达哥拉斯学派可能已经知道，任何一个三角形数的8倍加1是一个平方数；后来普鲁塔克（Plutarch,1世纪）提到过这个定理，丢番图（Diophantus, 3世纪）也曾运用过这个结果。
　　问题2 仔细观察三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等构成的数表，研究k边形数与k-1边形数之间的关系。可结合图（11---k边形数与k-1边形数）进行。
　　三角形数：1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 …
　　正方形数：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 …
　　五边形数：1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 …
　　六边形数：1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 …
　　七边形数：1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 …
　　…………………………………………………………………
　　历史上，晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus, 60?～120?）已经发现：第n个k边形数等于第n个k-1边形数与第n-1个三角形数之和。
　　问题3 能否从正方形数的构造（图12--正方形数与立方数之间的关系）规律中得出立方数与奇数之间的关系？并进一步探索三次幂和公式。
　　历史上，尼可麦丘（Nicomachus,60?～120?）已经发现第一个奇数1是立方数13，第二、三两个奇数3、5之和是立方数23，第四、五、六三个奇数7、9、11之和是立方数33，等等，他在《算术引论》中介绍了上述规律。
　　3、小结。
　　4、作业、大家再查相关资料更深层次了解本课内容。

　　十一、 您认为数学建模和数学探究对提升学生素质有何作用？结合您的学生的实际，给出一个数学建模或数学探究的教学设计。
　　数学建模和数学探究是通过从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际这一过程，是一个不断探究，不断创新的过程，也是一个广泛开展社会调查，接触社会、接触实际的过程，也就是实践能力的培养过程，数学建模是培养学生创新精神和实践能力的一种最有效的途径。所以说，数学建模和数学探究是改善学生学习方式的突破口，是体现数学解决问题和数学思维过程的最好的载体之一。主要表现如下：
　　第一、数学建模和数学探究能培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；
　　第二、数学建模和数学探究培养用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；
　　第三、数学建模和数学探究提高应用计算机及相应数学软件的能力；
　　第三、数学建模和数学探究培养学生独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；
　　第四、数学建模和数学探究能培养学生创造力、想象力、联想力和洞察力。
　　第五、数学建模和数学探究还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。
　　在数学建模教学中应该重视选用数学与物理、化学、生物、美学等知识相结合的跨学科问题和大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面)的数学问题，从其它学科中选择应用题，通过构建模型，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力,现代科学技术的发展，使数学促进了各学科的数学化趋势。
　　《函数概念》教学设计
　　(一) 教学目标
　　1．通过丰富的背景实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
　　2．能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。
　　3．通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。
　　(二) 教学重点、难点
　　重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
　　难点：函数概念及符号 的理解。
　　(三) 教学过程
　　1．创设情境，提供实例，引入课题
　　(1) 教师提供可以用解析式表达变量之间依赖关系的实例，如炮弹发射后的飞行高度与发射时间的关系，启发学生用集合与对应的语言描述这种依赖关系，体会用解析式刻画的这种变量依赖关系。
　　(2）教师提供可以用图像表达变量之间依赖关系的实例，如气温随时间变化的例子，启发学生用集合与对应的语言描述这种依赖关系，体会用图像刻画的这种变量依赖关系。
　　(3）教师提供可以用表格表达变量之间依赖关系的实例，启发学生用集合对应的语言描述这种依赖关系，体会用表格刻画的这种变量依赖关系。如三角函数表中，角度与三角函值之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这种关系？
　　2．结合实例，分析、概括得出函数的定义
　　分析、概括以上三个实例的共同特点，归纳得出函数的定义，并用集合与对应的语言严格描述函数定义。
　　3．用函数的集合与对应的定义解释已学函数
　　(1) 回顾初中的函数的定义。
　　(2）回顾初中已学过的一些函数，如一次函数、二次函数、反比例函数，用函数的集合对应定义描述这些函数，使初中学习的对函数的描述性定义上升到用集合与对应语言刻画的形式化定义，加深对函数概念的理解。
　　(3）反例练习，进一步体会函数的这种集合之间变量对应关系。
　　4．了解函数的三要素
　　结合实例，了解构成函数的三要素以及函数的符号表示。
　　5．练习、小结、布置作业
　　(1）练习。
　　(2）提示学生思考并讨论，“你对‘函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型’这句话有什么体会？构成函数的要素有哪些？你能举出生活中一些函数的例子吗？”引导学生做出学习内容的小结。
　　(3）布置作业。

　　十二、如何在数学建模和数学探究中发挥信息技术的作用？请您给出一个案例。
　　随着信息技术的飞速发展，以计算机多媒体和网络技术为核心的现代教育技术受到教育界的普遍关注，信息技术与课程整合，必将改变人们对数学的内容、形式、人文价值的评价与认识。数学与计算机科学的同步发展。如何在实例中把握问题的实质抽象出具有一般意义的数学模型，并由此更广泛地去解决其它问题，是数学学习的重要课题。
　　我们要审视信息时代里学生的数学素养的新内涵，探索基于网络环境下提高学生素养的策略。随着信息技术的发展，抽象的数学知识正在更真实地展现在我们面前。
　　如，我们可以借助《几何画板》等教学软件把点的轨迹演绎得淋漓尽致，用《几何画板》的迭代功能来完成曲线的制作电子白板把想象不到的东西通过真实的图像展现给学生看，“真正变抽象为具体，学生才能真切体现出其中的奥秘！。许多过去需要说破嘴皮的内容，如今都可以在多媒体的屏幕前，轻松地实现。
　　还有，就是课堂的互动，一节课你能通过举手或演板让多少同学的作业呈现在你面前，而多媒体互动课堂，能让全班的同学在10分钟内举手发言甚至演板（当然数学很多演算过程的输入还有待加强），这也是我们无法想象得到的，让全班同学的同时展现，见仁见智（有很多同学可以匿名发言，也让他们没有顾虑。
　　一个小小的FLASH，让很多无法实物展现的图形翻转、变化、截取、分割等等原来只能让学生生硬理解或充分想象的的变化得以直观、形象、生动演示。

（续下页）

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